✎ ☛ Un point est-il le milieu d'un segment ?

Méthode
Dans un repère \(\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère deux points \(\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A} \right)\) et \(\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B} \right)\).
On demande si un point \(\text M\) de coordonnées données est le milieu du segment \([\text{AB}]\) .

1. On appelle \(\text K\) le milieu du segment \([\text{AB}]\) et on calcule ses coordonnées.

2. On compare les coordonnées du point \(\text K\) avec celles du point \(\text M\) .

3. On conclut : si les coordonnées des points \(\text M\) et \(\text K\) sont égales, alors les points \(\text M\) et \(\text K\) sont confondus et le point \(\text M\) est le milieu du segment \([\text{AB}]\) ; sinon, le point \(\text M\) n'est pas le milieu du segment \([\text{AB}]\).

Énoncé
Dans un repère \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère trois points \(\text A \left( -3~ ; 5 \right)\), \(\text B \left( 1~ ; 7 \right)\) et \(\text C \left( 9~ ; -1 \right)\).
1. Le point \(\text M \left( -1~ ; 6 \right)\) est-il le milieu du segment \([\text{AB}]\) ?

2. Le point \(\text N \left( 2~ ; 3 \right)\) est-il le milieu du segment \([\text{AC}]\) ?

Solution
1. On appelle \(\text K\) le milieu du segment \([\text{AB}]\). Alors on a \(\text K \left( \dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2} \right)\).
Donc \(\text K \left( \dfrac{-3 + 1}{2} ; \dfrac{5 + 7}{2} \right)\) soit \(\text K \left( -1~; 6 \right)\). Les points \(\text K\) et \(\text M\) sont confondus.
Donc le point \(\text M\) est le milieu du segment \([\text{AB}]\).

2. On appelle \(\text L\) le milieu du segment \([\text{AC}]\). Alors on a \(\text L \left( \dfrac{x_{\text A} + x_{\text C}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text C}}{2} \right)\).
Donc \(\text L \left( \dfrac{-3 + 9}{2} ; \dfrac{5 + (-1)}{2} \right)\) soit \(\text L \left( 3~ ; 2 \right)\). Les points \(\text L\) et \(\text N\) ne sont pas confondus.
Donc le point \(\text N\) n'est pas le milieu du segment \([\text{AC}]\).